\Title{Гудов Д.О.}{Исследование алгоритма разрешения зависимостей в ALT RPM}

\section*{Введение}

Одной из задач пакетного менеджера является проверка совместимости устанавливаемого программного обеспечения с уже имеющимися или одновременно устанавливаемыми библиотеками. Традиционная зависимость от имени библиотеки и номера её версии не всегда достаточна: отдельный экспортируемый символ может быть удалён без изменения SONAME, а библиотеки с одинаковым SONAME могут предоставлять различные программные интерфейсы. В результате формально удовлетворённая зависимость от версии ещё не гарантирует, что динамический загрузчик найдёт все символы, необходимые программе.

В ALT RPM эта задача решается при помощи специальных версий зависимостей вида \texttt{set:<encoded-set>} [\Ref{SETC}]. Для отношения \texttt{Provides} такая строка описывает множество символов, экспортируемых библиотекой, а для отношения \texttt{Requires} --- символы, требуемые программой от конкретной библиотеки. При проверке зависимости обычное сравнение версий заменяется проверкой включения множеств. Полные имена символов при этом не сохраняются: они заменяются усечёнными хеш-значениями, сортируются и кодируются в компактную строку, допустимую как версия RPM.

Цель настоящей работы --- исследовать алгоритм построения и сравнения \texttt{set:}-строк, оценить вероятностные свойства хэша и вычислительную сложность алгоритма, а также определить направления оптимизации реализации.

%% В первых разделах формализуется решаемая задача, рассматриваются реальные данные репозитория Sisyphus, формат строки и путь её построения в исходной реализации \texttt{lib/set.c}.

\section{Постановка задачи и данные ALT Linux}
\label{PROBLEM}

Пусть $P$ --- множество символов, предоставляемых библиотекой, а $R$ --- множество символов, требуемых от неё программой. Обозначим $p=|P|$ и $r=|R|$. Зависимость выполнима тогда и только тогда, когда
\[
R\subseteq P.
\]

Списки символов формируются механизмом автоматического определения зависимостей \texttt{rpm-build}. Для \texttt{Provides} из динамической таблицы библиотеки выбираются доступные извне определённые символы. Для \texttt{Requires} утилита \texttt{ldd --bindings} устанавливает соответствие между требуемым символом и конкретной библиотекой-поставщиком; слабые неопределённые символы исключаются. Таким образом, одна строка \texttt{Requires} содержит только множество, связанное с данным поставщиком.

Явное хранение имён увеличивало бы RPM-метаданные пропорционально их суммарной длине. Поэтому используется усечённая хеш-функция c целым $b$, называемого в реализации \texttt{bpp},
\[
h_b(x)=h_{32}(x)\bmod 2^b,
\qquad
H_b(S)=\{h_b(x)\mid x\in S\},
\]
где $h_{32}$ --- 32-битная функция Jenkins one-at-a-time. Фактически \texttt{lib/set.c} проверяет условие
\[
H_b(R)\subseteq H_b(P).
\]

Такое представление сохраняет включение: из $R\subseteq P$ следует $H_b(R)\subseteq H_b(P)$. Следовательно, коллизия хешей не создаёт ложного отказа для корректной зависимости. Обратное утверждение неверно: отсутствующий символ из $R\setminus P$ может получить то же усечённое значение, что и один из символов $P$, и привести к ложному принятию зависимости. Тем самым предоставляемая гарантия имеет вероятностный характер.

Для оценки реальной нагрузки был исследован срез репозитория Sisyphus для архитектур \texttt{x86\_64} и \texttt{noarch}. Объём рассмотренных метаданных на момент 2026-08-20 приведён в табл.~\Ref{CORPUS}.

\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{\label{CORPUS}Объём исследованного среза Sisyphus}
\small
\begin{tabular}{|l|r|}
\hline
Объект & Количество \\
\hline
Пакеты & 47\,654 \\
\hline
Отношения \texttt{Provides} с \texttt{set:}-версией & 14\,859 \\
\hline
Отношения \texttt{Requires} с \texttt{set:}-версией & 69\,153 \\
\hline
Сопоставленные пары $P,R$ & 68\,492 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

661 отношений удовлетворены обычным неверсионированным \texttt{Provides}.

Для каждой сопоставленной пары декодировались мощности множеств $p$ и $r$, а также вычислялось индивидуальное отношение $p/r$. Квантили этих величин показаны в табл.~\Ref{CARDINALITIES}. Квантили отношения вычислялись непосредственно по парам.

\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{\label{CARDINALITIES}Мощности множеств в парах \texttt{Provides}/\texttt{Requires}}
\small
\begin{tabular}{|c|r|r|r|}
\hline
Квантиль & $p$ & $r$ & $p/r$ \\
\hline
0,50 & 480 & 13 & 28,1 \\
\hline
0,75 & 1\,886 & 37 & 80 \\
\hline
0,90 & 6\,219 & 104 & 257 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

В 92,4\% сопоставленных пар выполняется $p/r\geq 4$. Следовательно, типичный проверяемый набор требований существенно разрежен относительно множества предоставляемых символов. Это наблюдение важно для алгоритма сравнения: последовательный симметричный просмотр двух массивов не всегда использует характерное различие их мощностей.

\section{Устройство существующей \texttt{set:}-строки}
\label{FORMAT}

Построение \texttt{set:}-строки выполняется как последовательность преобразований
\[
\begin{aligned}
\text{имена символов}
&\longrightarrow \text{усечённые хеши}
\longrightarrow \text{сортировка},\\
&\longrightarrow \text{удаление повторов и вычисление дельт},\\
&\longrightarrow \text{код Голомба--Райса}
\longrightarrow \text{Base62-представление}.
\end{aligned}
\]
Итоговая версия имеет вид
\[
\texttt{set:}\langle b\rangle\langle m\rangle\langle payload\rangle.
\]
Префикс \texttt{set:} распознаётся RPM как признак специальной версии. Следующие два символа кодируют параметры $b=\texttt{bpp}$ и $m=\texttt{Mshift}$ по правилу $c=v-7+\texttt{'a'}$. Допустимы $10\leq b\leq32$, $7\leq m\leq31$ и $m<b$. Оставшаяся часть строки содержит закодированный в \texttt{Base62} битовый поток.

\subsection{Хеширование и вероятность коллизий}

Для каждого имени вычисляется 32-битный Jenkins one-at-a-time [\Ref{JENKINS}], после чего сохраняются только $b$ младших бит. Пусть $n$ различных имён независимо и равномерно отображаются в пространство из $N=2^b$ значений. Тогда математическое ожидание числа столкнувшихся пар равно

\[
\mathbb{E}C=\binom{n}{2}\frac{1}{2^b}
=\frac{n(n-1)}{2^{b+1}},
\]
а вероятность хотя бы одной коллизии имеет вид
\[
\P(C>0)=1-\prod_{i=0}^{n-1}\left(1-\frac{i}{2^b}\right)
\approx 1-\exp\left(-\frac{n(n-1)}{2^{b+1}}\right).
\]
Эти выражения являются модельными: Jenkins OAAT не является случайным оракулом, поэтому окончательная оценка должна дополняться измерением коллизий на реальном корпусе символов.

Эвристическую верхнюю оценку ложного принятия при $k=|R\setminus P|$ отсутствующих символов можно записать как
\[
\Pr\bigl(H_b(R)\subseteq H_b(P)\mid R\nsubseteq P\bigr)
\lesssim
\left(\frac{|H_b(P)|}{2^b}\right)^k.
\]
Увеличение $b$ снижает вероятность ошибки, но увеличивает кодируемые значения и длину строки. Поэтому выбор \texttt{bpp} представляет собой компромисс между компактностью метаданных и риском коллизий; при формировании \texttt{set:}-строки для \texttt{Requires} набора используется точность, определённая по числу символов соответствующего \texttt{Provides}, а не по обычно намного меньшему числу требований.

\subsection{Кодирование Голомба--Райса}

После сортировки уникальных значений
\[
0\leq x_1<x_2<\dots<x_n<2^b
\]
они заменяются дельтами
\[
\delta_1=x_1,
\qquad
\delta_i=x_i-x_{i-1},\quad i=2,\dots,n.
\]
Для равномерных хешей средний промежуток имеет порядок $2^b/n$, поэтому дельты значительно меньше абсолютных значений и хорошо подходят для кодирования Голомба--Райса [\Ref{GOLOMB-RICE}].

В реализации модуль $M$ равен степени двойки $M=2^m$. Для каждой дельты вычисляются
\[
q_i=\left\lfloor\frac{\delta_i}{M}\right\rfloor,
\qquad
r_i=\delta_i\bmod M.
\]
Частное $q_i$ записывается унарно как $q_i$ нулей и завершающая единица, после которой следуют $m$ младших бит остатка $r_i$. Длина кода одного значения равна
\[
\ell_i=q_i+1+m.
\]
Параметр выбирается приближённо как
\[
m=b-\lfloor\log_2 n\rfloor-1
\]
и ограничивается диапазоном формата $7\leq m\leq31$. При принятой модели суммарная длина битового потока оценивается как
\[
B=\sum_{i=1}^{n}\ell_i
=O\!\left(n\left(1+\log_2\frac{2^b}{n}\right)\right).
\]

\subsection{Base62-представление}

Битовый поток нельзя непосредственно поместить в поле версии RPM: необходима строка из допустимых символов. Исходная реализация использует алфавит \texttt{0--9}, \texttt{a--z}, \texttt{A--Z}. Значения от 0 до 60 записываются обычным символом, а \texttt{Z} служит escape-символом и позволяет представить также шестибитные значения 61, 62 и 63. Их различают два старших бита следующего символа: \texttt{00}, \texttt{01} или \texttt{10}. Комбинация \texttt{11} не используется, поэтому escape-последовательности не могут образовать неоднозначную цепочку. Вследствие этого один символ несёт от пяти до шести бит, и длина текстовой части приближённо пропорциональна $B/6$.

Рассмотрим небольшой пример с $b=10$. Для пяти имён Jenkins OAAT после усечения даёт значения, приведённые в табл.~\Ref{ENCODING_EXAMPLE}.

\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{\label{ENCODING_EXAMPLE}Пример хеширования символов при $b=10$}
\small
\begin{tabular}{|l|r|r|}
\hline
Символ & 32-битный хеш & $h_{10}$ \\
\hline
\texttt{fclose} & \texttt{0x6743def6} & 758 \\
\hline
\texttt{fopen}  & \texttt{0x0e984918} & 280 \\
\hline
\texttt{free}   & \texttt{0xa5bbbac7} & 711 \\
\hline
\texttt{malloc} & \texttt{0x07c1b8ff} & 255 \\
\hline
\texttt{printf} & \texttt{0xfd1ad5cc} & 460 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

После сортировки получается массив $(255,280,460,711,758)$, а после вычисления разностей --- $(255,25,180,251,47)$. Для $n=5$ формула даёт $m=7$; полученный 43-битный поток преобразуется в payload \texttt{ZvpACXZy}. Параметрам $b=10$ и $m=7$ соответствуют заголовочные символы \texttt{d} и \texttt{a}, поэтому итоговая строка равна \texttt{set:daZvpACXZy}.

\section{Построение \texttt{set:}-строк в \texttt{set.c}}
\label{CONSTRUCTION}

Благодаря сценариям автозависимостей \texttt{rpm-build} утилита \texttt{mkset} получает символы из ELF-файлов и далее использует \texttt{lib/set.c}, вызывая интерфейс построения множества:
\[
\texttt{set\_new()}\ \longrightarrow\
\texttt{set\_add()}\ \longrightarrow\
\texttt{set\_fini()}.
\]

Функция \texttt{set\_new()} создаёт пустую структуру \texttt{struct set}. В исходной реализации она представляет собой растущий массив пар «указатель на строку --- хеш». Функция \texttt{set\_add()} увеличивает ёмкость массива блоками по 1024 элемента и копирует каждое имя отдельным вызовом \texttt{xstrdup()}. На этом этапе хеши ещё не вычисляются, поэтому один объект можно финализировать с заданным значением \texttt{bpp}.

Основную работу выполняет \texttt{set\_fini()}. Её действия следуют в фиксированном порядке:
\begin{enumerate}
\item проверяется непустота множества и условие $10\leq b\leq32$;
\item для каждого имени вычисляется Jenkins OAAT и применяется маска из $b$ младших бит;
\item массив пар сортируется стандартной функцией \texttt{qsort()} по хеш-значению;
\item для равных хешей различных имён выводится предупреждение о коллизии;
\item хеши копируются в числовой массив, а повторяющиеся значения удаляются;
\item массив кодируется последовательно как дельты, код Голомба--Райса и Base62;
\item сформированная строка копируется в динамическую память и возвращается вызывающей стороне.
\end{enumerate}

Удаление повторов необходимо в двух случаях. Во-первых, одно имя может несколько раз попасть во входной поток. Во-вторых, различные имена могут совпасть после усечения хеша. Для семантики $H_b(S)$ оба случая означают один элемент множества. При этом предупреждение о коллизии формируется до удаления повторов, пока реализации ещё доступны исходные строки и можно различить совпадение имён от совпадения их хешей.

Оценим вычислительную сложность. Пусть $L$ --- суммарная длина всех входных имён, $n$ --- их количество, а $B$ --- длина потока Голомба--Райса в битах. Хеширование требует $O(L)$ операций, сортировка --- $O(n\log n)$ сравнений, линейные проходы сортированного массива --- $O(n)$, кодирование --- $O(B)$. Поэтому для исходного варианта
\[
T_{\mathrm{build}}=O(L)+O(n\log n)+O(B).
\]
Хранимые копии строк, массив пар, массив уникальных хешей, битовый буфер и результирующая строка дают дополнительную память порядка
\[
M_{\mathrm{build}}=O(L+n+B).
\]
Главным асимптотическим слагаемым для больших наборов остаётся \texttt{qsort()}, тогда как большое число отдельных копирований строк и наличие промежуточного битового массива влияют на постоянные затраты. Это определяет два независимых направления дальнейшего улучшения: замена сортировки для крупных множеств и потоковое кодирование без промежуточных представлений. При этом любые изменения должны сохранять байтовую совместимость формата.

\section{Сравнение \texttt{set:}-строк}
\label{COMPARISON}

Функция \texttt{rpmsetcmp()} получает две строки и определяет отношение включения между закодированными множествами. В штатном пути RPM первым операндом передаётся \texttt{Provides}, а вторым --- \texttt{Requires}. Возвращаемые значения различают четыре результата: 1, если первое множество строго содержит второе; 0 при равенстве; $-1$, если первое множество строго содержится во втором; $-2$, если множества несравнимы по включению. Ошибки декодирования первого и второго операндов отображаются соответственно в коды $-3$ и $-4$.

\subsection{Обратное декодирование и нормализация точности}

После удаления необязательного префикса \texttt{set:} проверяются параметры $b$ и $m$, а затем выполняется обратная цепочка преобразований
\[
\begin{aligned}
\text{Base62-строка}
&\longrightarrow \text{битовый поток}
\longrightarrow \text{дельты Голомба--Райса},\\
&\longrightarrow \text{возрастающий массив хешей}.
\end{aligned}
\]
Логически это преобразование обратно рассмотренному в разд.~\Ref{FORMAT}. Однако исходный \texttt{lib/set.c} не создаёт отдельный битовый массив: функция \texttt{decode\_base62\_golomb()} объединяет первые две стадии. Она считывает обычные символы попарно, преобразует их предварительно вычисленной таблицей и обрабатывает блоки до 24 бит. Частное и остаток кода Голомба--Райса восстанавливаются непосредственно из этих блоков. После этого единственный линейный проход суммирует дельты и получает исходные усечённые хеши.

Две строки могут иметь разные значения \texttt{bpp}. Сравнение выполняется при общей точности
\[
b_* = \min(b_P,b_R).
\]
Для этого более точный массив последовательно проецируется на один бит вниз. На одном шаге применяется отображение
\[
\pi_t(x)=x\bmod 2^t.
\]
После удаления старшего бита исходный возрастающий массив распадается на две возрастающие части. Обе части сливаются с сохранением возрастания элементов, а появившиеся совпадения удаляются. Поэтому после понижения точности сохраняются одновременно сортировка и представление множества без повторов. При разности точностей $d=|b_P-b_R|$ слияние повторяется $d$ раз.

В результате сравниваются два возрастающих массива
\[
\widehat P=H_{b_*}(P),\qquad
\widehat R=H_{b_*}(R).
\]

Понижение \texttt{bpp} необходимо, так как сравнение множеств хэшей отличающейся точности невозможно.

\subsection{Кэш декодированных множеств}

Декодирование длинной строки существенно дороже проверки нескольких уже готовых целых значений. Кроме того, один поставщик обычно сопоставляется с требованиями нескольких пакетов. Поэтому исходная реализация кэширует декодированный первый операнд, то есть в обычном вызове множество \texttt{Provides}.

Кэш состоит из двух массивов по 256 элементов: коротких отпечатков и указателей на записи. Отпечаток формируется из трёх байтов строки и служит только предварительным фильтром. Корректность попадания подтверждается полным сравнением исходной строки. Запись одним выделением памяти хранит декодированный массив, его длину и копию строки.

Поиск выполняется линейно. При попадании запись перемещается в начало двумя вызовами \texttt{memmove()}. Если кэш заполнен, последняя запись освобождается, а новый элемент вставляется на позицию 243 (\texttt{PIVOT\_SIZE}), после чего хвост обоих массивов также сдвигается. Такая схема приближает LRU-политику, но не является строгим LRU: новая, ещё не подтвердившая полезность запись помещается около конца кэша, тогда как повторно использованная попадает в начало.

Второй операнд исходная реализация каждый раз декодирует во временный массив на стеке. Кроме того, кэш хранит результат при исходном \texttt{bpp}; если для конкретного сравнения его требуется понизить, проекция вычисляется заново. Следовательно, кэш особенно полезен для потока сравнений одного \texttt{Provides} с разными \texttt{Requires} одинаковой точности, но не устраняет стоимость декодирования требований и нормализации.

\subsection{Проверка включения возрастающих массивов}

Наивная проверка $\widehat R\subseteq\widehat P$ последовательно продвигает указатель по $\widehat P$ до очередного требуемого значения. Исходная реализация одновременно вычисляет оба отношения включения с помощью флагов \texttt{ge} и \texttt{le}. Это позволяет одним проходом получить все четыре значения публичного API, а не только ответ на типичный для RPM вопрос $\widehat R\subseteq\widehat P$.

Для ускорения поиска используются макросы \texttt{IFLT4} и \texttt{IFLT8}. Первый перемещает указатель по массиву первого операнда блоками по четыре элемента, после превышения искомого значения возвращается на два элемента и уточняет позицию единичными шагами. Второй выполняет ту же схему с начальным шагом восемь и уточнениями 4, 2 и 1. В конец массива добавляются восемь значений-сентинелов $\mathtt{UINT\_MAX}$, благодаря чему пробный прыжок за последний настоящий элемент остаётся допустимым обращением к памяти. Макрос \texttt{IFLT8} выбирается при $p\geq16r$, в остальных случаях используется \texttt{IFLT4}.

Такой выбор учитывает разреженность требований, установленную в разд.~\Ref{PROBLEM}, но лишь двумя фиксированными режимами. При медианном $p/r=28{,}1$ шаг восемь уже применим, тогда как при $p/r=257$ он всё ещё остаётся равным восьми и не отражает фактическое среднее расстояние между требуемыми значениями.

Пусть $s_P$ и $s_R$ --- длины payload двух строк, а $d=|b_P-b_R|$. Холодное сравнение имеет оценку
\[
T_{\mathrm{cold}}=
O(s_P+s_R)+O\bigl(d\max(p,r)\bigr)+O(p+r).
\]
Поскольку формат ограничивает $10\leq b\leq32$, величина $d$ ограничена константой, и итоговая асимптотика линейна по размеру входных строк и декодированных множеств. При попадании первого операнда в кэш исчезает его декодирование, но остаются линейный поиск по кэшу, проверка строки, декодирование второго операнда, возможная нормализация и проход по массивам:
\[
T_{\mathrm{hit}}=
O(C+s_P+s_R)+O\bigl(d\max(p,r)\bigr)+O(p+r),
\qquad C=256.
\]
Здесь член $s_P$ отражает окончательную проверку ключа; на практике она выполняется только для записей с совпавшим коротким отпечатком. Дополнительная память одного холодного вызова составляет $O(p+r)$, не считая сохраняемого в процессе кэша первого операнда.

\section{Оптимизации с сохранением текущего формата}
\label{COMPATIBLE_OPTIMIZATIONS}

Для проверки направлений оптимизации была создана экспериментальная реализация \texttt{set9.c}. Она сохраняет Jenkins OAAT, формат заголовка, Golomb--Rice/Base62-представление и пять функций публичного API. Поэтому сформированные ею строки побайтово совместимы с исходной реализацией, а изменения относятся только к внутренним структурам и алгоритмам.

Помимо оптимизации сравнения, построение множества было переведено с отдельных \texttt{xstrdup()} для каждого имени на общую растущую строковую арену. В массиве элементов хранятся смещения, которые остаются корректными после \texttt{xrealloc()} арены. Кодирование и декодирование выполняются потоково: дельты, состояния Голомба--Райса и Base62 обрабатываются через 64-битный аккумулятор без отдельных массивов битов и дельт.

\subsection{Два bucketed LRU-кэша}

Вместо одного линейного кэша используются два независимых кэша --- для первого и второго операндов. Каждый содержит до 512 записей и таблицу из 1024 бакетов. Разделение предотвращает взаимное вытеснение часто повторяющихся \texttt{Provides} и \texttt{Requires}, а бакеты ограничивают область поиска записи.

Ключ включает короткий отпечаток исходной строки и целевую точность $b_*$. Совпадение, как и в исходном варианте, обязательно подтверждается полным \texttt{strcmp()}, поэтому ускоряющая структура не меняет семантику. Значение $b_*$ принципиально важно: одна строка может сравниваться с операндами разной точности и давать разные нормализованные массивы.

При промахе строка декодируется, сразу приводится к $b_*$ и в таком виде сохраняется. Повторное сравнение той же строки при той же точности не требует ни декодирования, ни цикла \texttt{downsample\_set()}. Порядок вытеснения поддерживается двусвязным списком: попадание переносит запись в начало за $O(1)$, а при заполнении удаляется самый старый элемент. В отличие от массивного кэша, полный сдвиг записей не требуется. При равномерном распределении отпечатков ожидаемая стоимость поиска близка к $O(1)$ плюс стоимость окончательной проверки строки.

\subsection{Radix sort для больших множеств}

При построении строки исходный \texttt{qsort()} требует $O(n\log n)$ вызовов функции сравнения. Для 32-битных целых ключей число разрядов заранее ограничено, поэтому в \texttt{set9.c} при $n\geq128$ применяется стабильная LSD radix sort по байтам хеша. Для меньших наборов сохраняется \texttt{qsort()}, поскольку подготовка таблиц и временного массива не окупается.

Число проходов определяется фактически используемой точностью:
\[
k=\left\lceil\frac b8\right\rceil,
\qquad
T_{\mathrm{radix}}=O(kn).
\]
На каждом проходе сначала подсчитываются 256 значений текущего байта, затем префиксные суммы преобразуют счётчики в позиции, после чего элементы стабильно распределяются во временный массив. Источник и приёмник меняются местами между проходами. Дополнительная память равна
\[
M_{\mathrm{radix}}=O(n+256).
\]
Так как $b\leq32$, выполняется не более четырёх линейных проходов.

\subsection{Адаптивная проверка включения}

Мощности массивов после нормализации позволяют заранее исключить часть отношений. Если $p=r$, строгого включения быть не может: равенство проверяется одним \texttt{memcmp()}, а несовпадение означает несравнимость. Если $p>r$, проверяется только $\widehat R\subseteq\widehat P$; обратное строгое включение невозможно. Случай $p<r$ обрабатывается симметрично. Тем самым устраняется одновременное ведение двух флагов и выбирается единственная содержательная проверка.

Функция \texttt{sorted\_subset()} использует отношение мощностей
\[
j=\left\lfloor\frac{n_{\mathrm{large}}}{n_{\mathrm{small}}}\right\rfloor.
\]
При $j<4$ выполняется обычное линейное слияние. Для разреженного случая поиск очередного элемента начинается от позиции предыдущего совпадения, делает шаг приблизительно $j$, а затем делит шаг пополам до нахождения нижней границы. Указатель по большому массиву движется только вперёд; при первом отсутствующем хеше функция немедленно возвращает отрицательный результат.

Для плотного случая сохраняется оценка $O(p+r)$. В разреженном потоке суммарное число крупных шагов имеет порядок $O(p/j)$, а уточнение границы требует до $O(\log j)$ проб на один элемент меньшего множества:
\[
T_{\mathrm{sparse}}=
O\left(\frac pj+r\log j\right).
\]
При характерном $j\approx p/r$ первое слагаемое имеет порядок $r$. В отличие от фиксированного выбора между шагами 4 и 8, величина перехода адаптируется к наблюдаемому отношению мощностей.

\section{Результаты экспериментальной проверки}
\label{RESULTS}

Проверка экспериментальной реализации проводилась в два этапа. Сначала проверялась корректность формата и операций над множествами, затем измерялась производительность в сценариях пакетного менеджера.

\subsection{Дифференциальное тестирование на синтетических множествах}

Для проверки совместимости был разработан дифференциальный тест, не использующий заранее подготовленные \texttt{set:}-строки. На каждой итерации он самостоятельно формировал исходное множество из случайных уникальных строк. Число символов выбиралось в диапазоне от 1 до 1000, длина каждого имени --- от 1 до 100 знаков, а параметр $bpp$ --- от 10 до 32. В алфавит входили латинские буквы, цифры и знаки, встречающиеся в именах экспортируемых символов: точка, знак \texttt{@} и подчёркивание.

Из исходного множества строилось второе множество с заранее известным отношением к первому. Тест охватывал четыре класса входов: равные множества, строгое включение, несравнимые множества и некорректные \texttt{set:}-строки. Для проверки строгого включения из первого множества удалялась случайная непустая часть элементов. В случае несравнимости после удаления добавлялись новые символы, отсутствующие в первом множестве. Некорректная строка генерировалась случайным набором символов, в таком случае был шанс получить корректную строку, но для нас остаётся важным одинаковый результат двух программ.

Один и тот же набор исходных символов независимо передавался построителю исходного \texttt{set.c} и построителю \texttt{set9.c}. Таким образом, каждая реализация сама выполняла хеширование, сортировку и кодирование, после чего её вариант \texttt{rpmsetcmp()} сравнивал полученную пару строк. Тест сопоставлял наблюдаемый результат публичного API: $1$ для строгого надмножества, $0$ для равенства, $-1$ для строгого подмножества, $-2$ для несравнимости и $-3$ или $-4$ для ошибки декодирования соответствующего операнда. Для случая включения операнды дополнительно менялись местами, что позволяло одновременно проверить результаты $1$ и $-1$.

Генерация и сравнение выполнялись циклически до ручной остановки теста. Такой подход проверял эквивалентность реализаций на широком диапазоне мощностей и точностей.

\subsection{Производительность в сценариях APT}

Для измерения времени использовались две локальные сборки \texttt{librpm}: с исходным \texttt{set.c} и с \texttt{set9.c}. На каждой сборке трижды выполнялись одинаковые успешно завершившиеся симуляции APT. В табл.~\Ref{APT_RESULTS} приведены средние значения процессорного времени пользователя и ядра. Время ожидания и ввода-вывода в эти величины не входит.

Коэффициент вычислялся по суммарному процессорному времени:
\[
K_{\mathrm{CPU}}=
\frac{U_{\mathrm{original}}+S_{\mathrm{original}}}
     {U_{\mathrm{set9}}+S_{\mathrm{set9}}}.
\]
Значение $K_{\mathrm{CPU}}>1$ означает ускорение, а $K_{\mathrm{CPU}}<1$ --- замедление экспериментальной реализации.

\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{\label{APT_RESULTS}Сравнение исходного \texttt{set.c} и \texttt{set9.c} в симуляциях APT}
\scriptsize
\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|r|}
\hline
Сценарий & \multicolumn{2}{c|}{Исходный, с} & \multicolumn{2}{c|}{\texttt{set9.c}, с} & $K_{\mathrm{CPU}}$ \\
\cline{2-5}
 & user & system & user & system & \\
\hline
\texttt{-s check} & 0,453 & 0,033 & 0,503 & 0,040 & 0,896 \\
\hline
\texttt{-s autoremove} & 0,763 & 0,040 & 0,810 & 0,040 & 0,945 \\
\hline
\texttt{-s install rpm-build} & 1,210 & 0,050 & 1,283 & 0,050 & 0,945 \\
\hline
\texttt{-s install openuds-server} & 3,747 & 0,080 & 3,897 & 0,083 & 0,961 \\
\hline
\texttt{-s install password-store} & 1,233 & 0,050 & 1,310 & 0,050 & 0,944 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Во всех пяти измеренных сценариях \texttt{set9.c} не превзошёл исходный вариант: суммарное процессорное время увеличилось примерно на 4,0--11,6\%. Это отрицательный результат, вызванный более простым потоковым декодером, который не превзошёл специализированного табличного декодера исходной реализации даже при условии остальных оптимизаций.

Для проверки этого объяснения исходный слитый декодер отдельно сравнивался с вариантом, в котором Base62, код Голомба--Райса и восстановление дельт выполнялись последовательными стадиями. В зависимости от сценария слитый путь сокращал суммарное процессорное время в 1,47--2,82 раза. Следовательно, благодаря табличной обработке Base62/Golomb получается измеримый выигрыш. Практическое направление дальнейшей работы может состоять в разработке нового формата хранения и обработки \texttt{set:}-строк.

\section{Варианты со сменой формата или API}
\label{ALTERNATIVE_FORMATS}

Оптимизации разд.~\Ref{COMPATIBLE_OPTIMIZATIONS} ограничены требованием побайтовой совместимости. Параллельно исследовались представления, снимающие это ограничение. Их результаты нельзя напрямую переносить на существующие RPM-метаданные: новый формат требует повторного формирования зависимостей репозитория.

\subsection{Roaring Bitmap: отрицательный результат}

Roaring Bitmap предназначен прежде всего для множеств, содержащих плотные участки целочисленного пространства. Усечённые хеши, напротив, распределены по диапазону приблизительно равномерно. Поэтому контейнеры bitmap не получают длинных серий соседних значений, но сохраняют собственные заголовки и индексы.

В микротесте использовались 1000 предоставляемых и 500 требуемых символов при $b=32$. Результаты приведены в табл.~\Ref{ROARING_RESULTS}. Коэффициенты времени вычислены относительно \texttt{set9.c}; значение больше единицы означает замедление.

\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{\label{ROARING_RESULTS}Сравнение Golomb/Base62 и Roaring Bitmap}
\small
\begin{tabular}{|l|r|r|r|}
\hline
Представление & Длина строки & Cold compare & Warm compare \\
\hline
Golomb/Base62 \texttt{set9} & 3\,994 & 1,00 & 1,00 \\
\hline
Roaring/hex & 19\,924 & 4,50 & 76,14 \\
\hline
Roaring+zstd & 14\,126 & 4,96 & 101,86 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Без дополнительного сжатия строка оказалась длиннее в 4,99 раза. Холодное сравнение заняло 1321,17 мкс вместо 293,87 мкс, а прогретое --- 399,20 мкс вместо 5,24 мкс. При этом построение bitmap занимало лишь $0,76$ времени \texttt{set\_fini()} варианта \texttt{set9}; ускорение генерации не компенсировало стоимость хранения и сравнения.

Сжатие zstd уменьшило строку до 14\,126 символов, то есть до 3,54 длины \texttt{set9}, но добавило декомпрессию в горячий путь. В отдельном прогоне холодное и прогретое сравнения были медленнее соответственно в 4,96 и 101,86 раза. Таким образом, Roaring Bitmap для равномерных хешей является подтверждённым отрицательным вариантом: структура данных не соответствует распределению кодируемых значений.

\subsection{Прямые хеши в Base64}

Другой вариант, обозначенный как D1, исключает дельты и код Голомба--Райса. $n$ отсортированных уникальных хешей записываются подряд по $b$ бит, после чего битовый массив преобразуется в Base64-строку. Если
\[
Q=\left\lceil\frac{nb}{8}\right\rceil
\]
--- число байтов упакованного массива, то доминирующая часть длины payload равна
\[
L_{\mathrm{payload}}=
\left\lceil\frac{4Q}{3}\right\rceil,
\]
а заголовок формата добавляет постоянное число символов. В отличие от Golomb--Rice, эта оценка почти не зависит от расстояний между соседними хешами: цена быстрого произвольного доступа --- увеличение метаданных.

Для тех же 1000/500 символов при $b=32$ длина строки выросла с 3994 до 5340 символов, то есть на 33,7\%. Результаты теста показаны в табл.~\Ref{DIRECT_RESULTS}; отношение меньше единицы означает, что D1 затратил меньшую долю времени \texttt{set9.c}.

\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{\label{DIRECT_RESULTS}Тест прямого представления D1}
\small
\begin{tabular}{|l|r|r|r|}
\hline
Операция & \texttt{set9}, мкс & D1, мкс & D1/\texttt{set9} \\
\hline
\texttt{set\_fini()} & 147,45 & 105,09 & 0,71 \\
\hline
\texttt{rpmsetcmp()}, cold & 129,67 & 113,04 & 0,87 \\
\hline
\texttt{rpmsetcmp()}, warm & 2,99 & 1,04 & 0,35 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Для крупного требования прямое представление ускорило все три измеряемые операции, особенно попадание в кэш. Однако при одном требуемом символе холодное сравнение занимало 83,22 мкс ($0,88$ времени \texttt{set9}), а прогретое --- 0,86 мкс ($1,02$), то есть преимущество исчезало. Это подчёркивает зависимость результата от формы нагрузки: выигрыш одного сравнения не доказывает ускорение полного потока зависимостей APT. D1 представляет интерес как компромисс между размером и стоимостью декодирования, но требует отдельной сквозной проверки на преобразованных метаданных репозитория.

\subsection{Альтернативные хеш-функции}

Отдельно сравнивались Jenkins OAAT, xxHash32 и CityHash32. Сравнение было необходимо, так как xxHash и CityHash --- хэш функции, разработанные значительно позже последнего обновления \texttt{set.c}. В каждом замере использовались три запуска; в табл.~\Ref{HASH_SPEED} приведены медианы. Для коротких строк указано время одного хеширования, для длинных --- пропускная способность.

\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{\label{HASH_SPEED}Скорость 32-битных хеш-функций}
\small
\begin{tabular}{|l|r|r|}
\hline
Функция & 32 байта, нс/хеш & 1024 байта, ГиБ/с \\
\hline
Jenkins OAAT & 50,98 & 0,53 \\
\hline
xxHash32 & 11,56 & 5,18 \\
\hline
CityHash32 & 16,70 & 4,10 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

На строках длиной 32 байта xxHash32 был быстрее Jenkins примерно в 4,4 раза, CityHash32 --- в 3,1 раза. При 1024 байтах различие по пропускной способности достигало соответственно 9,8 и 7,7 раза. Следовательно, Jenkins OAAT не является оптимальным по скорости, особенно на длинных входах.

Для оценки качества использовался другой тест, в нём сравнивались Jenkins OAAT, 64-битный xxHash и \texttt{t1ha2\_atonce};. Поскольку формат \texttt{set:version} сохраняет не более 32 бит хеша, при сопоставлении учитывались младшие 32 выходных бита всех трёх функций.

Тест измерял лавинный эффект на реальном корпусе экспортируемых C++-символов ALT Linux p11. Утилита \texttt{provided\_symbols} извлекла из 259 ELF-файлов пяти пакетов 577\,509 уникальных имён. Пакеты выбирались среди имеющих наиболее длинные \texttt{Provides set:}-строки. Корпус специально является сложным для хеширования похожих строк: 99,60\% символов имеют с другим символом общий префикс длиной не менее 12 знаков, 95,05\% --- не менее 24 знаков, а медиана максимального общего префикса равна 61 знаку.

Для каждого бита вычислялась доля $q_i$ корпусных хешей, в которых этот бит равен единице. Идеальному распределению соответствует $q_i=0{,}5$. Результаты обоих тестов представлены в табл.~\Ref{HASH_QUALITY_EXOTIC}. Значения приведены в процентах от полной шкалы вероятности; последний столбец содержит максимальное среднее абсолютное отклонение младших 32 бит от $0{,}5$.

Среднее абсолютное отклонение по младшим 32 битам вычислялось как:
\[
\overline{\Delta}=\frac{1}{32}\sum_{i=0}^{31}|p_i-0{,}5|.
\]
Меньшее значение $\overline{\Delta}$ соответствует более равномерному лавинному эффекту.

\begin{table}[H]
\begin{center}
\caption{\label{HASH_QUALITY_EXOTIC}Качество перемешивания младших 32 бит хеш-функций}
\scriptsize
\begin{tabular}{|l|r|r|r|r|}
\hline
Функция & \makecell{Корпус\\$\overline{\Delta}$, \%} & \makecell{Корпус\\$\Delta_{\max}$, \%} \\
\hline
Jenkins OAAT  & 0,0475 & 0,167 \\
\hline
xxHash64 &  0,0431 & 0,122 \\
\hline
t1ha2 &  0,0615 & 0,188 \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{table}

Все три функции продемонстрировали близкое к равномерному распределение. На реальном корпусе лучший результат получен для xxHash64, однако разность между функциями составляла сотые доли процента, а максимальное отклонение отдельного бита не превысило 0,188\%.

Таким образом, тестирование на похожих C++-символах не выявило недостаточного перемешивания Jenkins OAAT. xxHash64 и t1ha2 остаются кандидатами для отдельной оценки производительности, но качество распределения само по себе не обосновывает замену Jenkins.

\References
\begin{enumerate}
\item
\Label{SETC}
Tourbin A.
\emph{set.c --- base62, Golomb and set-string routines}.
ALT RPM source code, 2010--2012.
[Электронный ресурс] URL: \url{https://git.altlinux.org/gears/r/rpm.git?a=blob;f=lib/set.c}.

\item
\Label{JENKINS}

\item
\Label{GOLOMB-RICE}

\end{enumerate}