fix introduction

example/7_experiments.tex

@@ -0,0 +1,162 @@
+\section{Экспериментальное исследование масштабируемости подхода}
+\label{sec:7_experiments} \index{7_experiments}
+
+\subsection{Цели исследования}\label{sec:purpose}
+
+Целью экспериментального исследования являлась оценка масштабируемости предложенного подхода на основе ЦЛП по времени поиска решения при увеличении размерности входных данных.
+
+\subsection{Классы исходных данных}\label{sec:data_classes}
+
+Для исследования использовались три типа входных графов:
+\begin{enumerate}
+  \item Случайно сгенерированные графы.
+  \item Слоистые графы.
+  \item Графы работ алгоритма Гаусса-Жордана.
+\end{enumerate}
+
+Рассмотрим отдельно каждый тип графов.
+
+\textbf{Случайные графы работ.}
+
+Случайные графы (рис. \ref{fig:sluch_gr}), в которых каждая вершина может иметь 1 или 2 предков и любое количество потомков.
+
+\begin{figure}[!h]
+    \centering
+    \includegraphics[scale=0.3]{./pictures/схема_случайного_графа.png}
+    \caption{Случайный граф.}
+    \label{fig:sluch_gr}
+\end{figure}
+
+
+Для экспериментов использовались графы со следующими свойствами:
+\begin{itemize}
+  \item Количество вершин: от 30 до 97.
+  \item Количество ребер: от 41 до 144.
+  \item Средняя плотность (количество ребер/количество вершин): 1,47.
+  \item Использование ресурсов вершинами: случайное, возможные значения 16384, 65536, 262144.
+\end{itemize}
+
+\textbf{Слоистые графы работ.}
+
+Графы работ со слоистой структурой (рис. \ref{fig:sloist_gr}), типичные для многих реальных приложений с многоэтапными вычислениями, например, цифровая обработка сигналов.
+
+\begin{figure}[!h]
+    \centering
+    \includegraphics[height=5cm,keepaspectratio]{./pictures/схема_слоистого_графа.png}
+    \caption{Слоистый граф.}
+    \label{fig:sloist_gr}
+\end{figure}
+
+\newpage
+Для экспериментов использовались графы со следующими свойствами:
+\begin{itemize}
+  \item Количество вершин: от 10 до 80 с шагом 5.
+  \item Количество ребер: от 9 до 178.
+  \item Средняя плотность (количество ребер/количество вершин): 1,49.
+  \item Использование ресурсов вершинами: случайное кратное 1024, в диапазоне [2048; 11264].
+\end{itemize}
+
+\textbf{Треугольные графы работ.}
+
+Основной набор графов работ для экспериментов по масштабируемости. Этот набор основан на графах работ алгоритма Гаусса-Жордана. Треугольные графы (рис. \ref{fig:treug_graf}) -- это многоуровневые графы с регулярной структурой и ребрами, соединяющими только соседние слои.
+
+\begin{figure}[!h]
+    \centering
+    \includegraphics[height=6cm,keepaspectratio]{pictures/схема_треугольного_графа.png}
+    \caption{Треугольный граф.}
+    \label{fig:treug_graf}
+\end{figure}
+
+Для экспериментов использовались графы со следующими свойствами:
+\begin{itemize}
+  \item Количество вершин: от 21 до 55.
+  \item Количество ребер: от 30 до 90.
+  \item Средняя плотность (количество ребер/количество вершин): 1,54.
+  \item Использование ресурсов вершинами: случайное в диапазоне [1; 100].
+\end{itemize}
+
+Количество слоев варьировалось от 6 до 10 с шагом 1. Для каждого количества слоев в наборе есть 6 графов с одинаковой структурой и разным использованием ресурсов вершинами.
+
+
+\subsection{Результаты экспериментов}
+\label{sec:results}
+
+Эксперименты проводились на компьютере со следующими характеристиками:
+\begin{itemize}
+    \item ЦП: Intel Xeon E5-2650 v4, тактовая частота 2.2 ГГц
+    \item Количество ядер: 20
+    \item Oбъем ОЗУ: 64 Гб
+    \item OС: Ubuntu 20.04 LTS
+\end{itemize}
+
+На диаграмме рис. \ref{fig:trianglog} представлено время поиска решения на треугольных графах с использованием решателя SCIP (выбран по результатам предварительных экспериментов, описанных в разделе \ref{sec:4_solvers}). Цвету столбца соответствует наличие или отсутствие транзитивных ребер, а цвету границы столбца -- упорядочение входных данных.
+
+\begin{figure} [h!]
+    \centering
+    \includegraphics[width=1\linewidth]{pictures/trianglog.png}
+    \caption{Время поиска решения на треугольных графах.}
+    \label{fig:trianglog}
+\end{figure}
+
+Видно, что с ростом числа вершин увеличивается усредненное по графам с одинаковым числом вершин время поиска решения. В зависимости от использования ресурсов вершинами, время поиска при одинаковом числе вершин может различаться в сотни раз (например, для графов с 45 вершинами).
+
+На диаграмме рис. \ref{fig:layeredlog} представлено время поиска решения на слоистых графах. Цвету столбца соответствует наличие или отсутствие транзитивных ребер, а цвету границы столбца -- упорядочение. Под каждым столбцом находится число -- максимальное количество слоев, пропускаемое ребрами, а под этими числами -- число вершин в графе.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[width=1\linewidth]{pictures/layeredlog.png}
+    \caption{Время поиска решения на слоистых графах.}
+    \label{fig:layeredlog}
+\end{figure}
+
+Видно, что с ростом числа вершин увеличивается усредненное по графам с одинаковым числом вершин время поиска решения. Для фиксированного числа вершин, с увеличением количества пропускаемых слоев время поиска решения растет, порой в десятки раз (например, для графов с 50 вершинами). 
+
+Для случайных графов были построены круговые диаграммы, см. рис. \ref{fig:dagpie}. В легенде каждой диаграммы указано соответствие цвета количеству секунд, понадобившемуся на поиск решения. Ограничение на время работы решателя (TIMELIMIT) было установлено в 3600 секунд.
+
+\newpage
+По диаграммам видно, что:
+\begin{itemize}
+    \item В диапазоне от 30 до 55 вершин около 70\% запусков решателя выполняются менее 100 секунд.
+    \item В диапазоне от 55 до 80 вершин большинство запусков решателя выполняются больше 1000 секунд, из них около трети превышают лимит времени.
+    \item В диапазоне от 80 до 100 вершин превысили лимит времени 90 процентов запусков решателя, и ни один не  завершился в пределах 1000 секунд.
+\end{itemize}
+
+Таким образом, для случайных графов с ростом числа вершин увеличивается минимальное и среднее время нахождения решения, а также растет доля запусков решателя, превысивших ограничение по времени.
+
+\begin{figure}
+    \centering
+    \includegraphics[width=1\linewidth]{pictures/dagpie.png}
+    \caption{Время поиска решения на случайных графах.}
+    \label{fig:dagpie}
+\end{figure}
+
+
+\subsection{Экономия времени за счет поиска неоптимальных решений}\label{sec:gap}
+
+Решатель SCIP во время поиска оптимального решения находит допустимые, но не оптимальные решения и показывает, насколько лучшее из них отличается по значению целевой функции от оценки оптимума целевой функции, исходя из текущих результатов алгоритма. Формула подсчета отклонения выглядит так:
+\[gap = \frac{|primalbound - dualbound|}{min(|primalbound|,|dualbound|)|} * 100\%,\]
+где $primalbound$ --- это верхняя оценка оптимального значения, которая равна значению целевой функции лучшего найденного решения задачи, $dualbound$ --- нижняя оценка оптимального значения целевой функции, и знаки $primalbound$ и $dualbound$ совпадают. Если знаки $primalbound$ и $dualbound$ разные, то отклонение ($gap$) принимает значение «Infinity» (бесконечность).
+
+\begin{figure}[h!]
+    \centering
+    \includegraphics[width=1\linewidth]{template-cmc/pictures/percents_gap.png}
+    \caption{Отклонение от теоретической оценки точного решения в процентах.}
+    \label{fig:percents_gap}
+\end{figure}
+
+По рис. \ref{fig:percents_gap} можно для нескольких графов проследить время поиска решений с верхними оценками отклонения от оптимума в диапазоне от 20\% до 0\% (оптимальное решение) с шагом 5\%. Под столбцами подписаны проценты отклонения, а ниже -- названия графов. Если нужный процент (например, 15\% для графа default70) отсутствовал в протоколе работы решателя, то брался процент на 1 меньше или больше. Если и он отсутствовал, то этот столбец пропускался (например, 5\% для графа jump\_4\_40).
+
+Видно, что в ряде случаев можно значительно сэкономить время, задав небольшое отклонение искомого решения от оптимального по значению целевой функции. Так, для треугольного графа triang10\_0 решение с 10\% отклонением от оптимума ищется более чем в 100 раз быстрее, чем оптимальное решение. В других случаях экономия может быть несущественной, например для слоистого графа jump\_3\_45.
+
+
+
+
+\subsection{Выводы}\label{sec:summary}
+
+Экспериментальное исследование показало быстрый рост времени работы решателя с увеличением размера входного графа, что характерно для NP-трудных задач. При одинаковом количестве вершин в графе, существенное влияние на время работы решателя оказывает как количество потребляемого работами ресурса (видно на треугольных графах), так и структура графа (видно на слоистых графах с различным количеством пропускаемых ребрами слоев).
+
+Выявлена значительная зависимость времени поиска решения от упорядочения входных данных и от наличия или отсутствия добавленных в граф транзитивных ребер. Зависимость не носит систематического характера, поэтому рекомендуется использовать схему с параллельным запуском экземпляров решателя для различных сочетаний упорядочения и наличия/отсутствия транзитивных ребер при одном и том же наборе входных данных задачи.
+
+Ограничения применимости метода по размеру входного графа зависят от структуры графа. В проведенных экспериментах, для треугольных графов максимальное число вершин графа, для которого было найдено решение, составляло 55; для слоистых -- 80 (при отсутствии ребер, пропускающих слои). При этом для треугольного графа с 55 вершинами и 90 ребрами поиск решения занял двое суток, а для слоистого графа с 75 вершинами и 161 ребрами (включая ребра, пропускающие слои) решение не было найдено за 20 суток. Отметим, что в области цифровой обработки сигналов присутствуют графы работ с количеством вершин, не превышающим выявленные пределы: в статье \cite{CASANOVA} приведены графы работ для операций LU-разложения (55 вершин), QR-разложения (55 вершин), разложения Холецкого (35 вершин).
+
+В ряде случаев время работы решателя можно значительно (в десятки раз, до 100 раз) сократить, если остановить поиск при обнаружении решения, отклоняющегося на 10-15\% от оптимального по значению целевой функции.